Calcul intégral H2020

Documentation

Plan de cours 201-NYB H2020
Le plan de cours, avec la pondération des évaluations et une liste de références en lien avec le cours.
Formulaire sur les limites
Formulaire de dérivation
Formulaire d’intégration
Un formulaire contenant toutes les formules d’intégration supposées connues dans ce cours

Note: les exercices sont tirés du manuel Charron et Parent, Calcul intégral, 5e édition, Chenelière éducation, 2016, ISBN: 978-2-7650-4748-3.

Cours 1

Distribution du Plan de cours.

Quelques rappels sur la dérivée et les limites, introduction à la règle de l’Hospital.

Exercices: pour réviser calcul diffrentiel: p3 Q7, 9, 10, p12 Q1, 2, 3 a) à g),

Dérivation logarithmique: p 13 Q10 et 11.

Règle de l’hospital: p 46 no 1, 2, 3, 4

Cours 2

La règle de l’Hospital s’applique aux formes « \(0/0\) », « \(\infty/\infty\) », ainsi qu’aux limites à droites, à gauche et à l’infini.

Formes indéterminées et « \(\infty-\infty\) », « \(0\cdot \infty\) », « \(0^0\) », « \(1^\infty\) » et « \(\infty^0\) »

Exercices: p 46 Q 5, 6, Q7 a) à d), Q8, 9, 10 a), b), Q 11 a) à m)

Récap: p 49 Q20 a) à j), Q25 a) à j)

Cours 3

Équation différentielles, primitives, intégrale indéfinie, formules d’intégration de base.

Distribué en classe: un formulaire d’intégration qui contient toutes les formules d’intégration qui seront supposées connues dans ce cours.

Exercices:

Cours 4

Différentielles et changement de variables.

La différentielle d’une fonction \(y=f(x)\) est définie par $$dy = f'(x) dx.$$ Nous avons vu que la différentielle peut servir à approximer des fonctions de la manière suivante: $$f(a+dx) \approx f(a)+dy.$$

La différentielle intervient dans l’utilisation du changement de variable dans les intégrales indéfinies: \[\int f(g(x)) g'(x) \,dx = \int f(u) \, du. \]

Exercices:

Exercices sur la différentielle:

Cours 5

Introduction aux sommations et à la notation \(\displaystyle\sum\).

Exercices:

Cours 6

Période d’exercices.

Cours 7

Examen 1

Cours 8

Définition de l’intégrale définie, qui donne l’aire sous une courbe:

$$\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(x^\ast_k\right) \Delta x_k $$

exemples de calcul d’aire à l’aide de cette définition.

Propriétés importantes de l’intégrale définie.

Exercices:

Cours 9

La relation entre la dérivée et l’intégrale définie est résumée dans les deux énoncés constituant le théorème fondamental du calcul:

\[\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x) \qquad \int_a^b f'(x)\,dx = f(b) – f(a).\]

Nouvelle version du formulaire d’intégration avec une nouvelle page sur l’intégrale définie.

Exercices:

Cours 10

Changement de variable avec les intégrales définies:

\[\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.\]

Applications du théorème fondamental: calcul d’aires.

Démonstration géogébra de l’effet d’un changement de variable. Le curseur permet de contrôler la position de la base \(dx\) et de voir quelle base \(du\) lui correspond. Notez que \(du\) « revient sur lui même » à un certain moment à cause de la forme particulière de la fonction \(u=f(x)\). Tentez d’expliquer pourquoi ça ne change rien à la formule de changement de variable donnée plus haut!

Exercices:

Cours 11

Intégration par parties: la relation

$$\int v \, du = uv – \int u\, dv$$

et ses multiples utilisations pour calculer des intégrales indéfinies.

Nous avons aussi vu l’idée de formule de récurrence: n’apprenez pas par coeur les formules de récurrence!

Exercices:

Cours 12

Rappels sur certaines identités trigonométriques comportant les fonctions sinus et cosinus (formulaire distribué en classe).

Exemples pour illustrer les différentes méthodes d’intégration pour les intégrales comportant les fonctions sinus et cosinus. L’idée générale est d’utiliser les identités trigonométriques pour transformer les intégrales.

Exercices:

Cours 13

Méthodes d’intégration pour les intégrales comportant les fonctions sécantes et tangentes

Variante: intégrales de fonction comportant les fonctions cosécantes et cotangentes.

Mélange de toutes les fonctions trigonométriques: ramener à des fonctions exprimées à l’aide des fonctions sin et cos ou exprimée avec les fonctions sec et tan.

Exercices

Cours 14

Période d’exercice

Formatif 2

Pour vous pratiquer à calculer l’aire sous une courbe à l’aide de la définition d’intégrale définie, calculer \(\int_1^2 (x+1)^2\, dx\) à l’aide de la définition et de vérifier le résultat à l’aide du théorème fondamental.

Cours 15

Examen 2

Cours 16

Intégration par substitution trigonométrique

Cours 17

Intégration par substitution trigonométrique

Exercices:

Cours 18

Décomposition en fractions partielles

Exercice:

Cours 19

Volumes de révolution.

Si l’axe de rotation est perpendiculaire à un « rectangle typique » $r\,dx$, le volume typique sera un disque de volume \[dV = \pi r^2 dx.\]

Si l’axe de rotation est perpendiculaire à un « rectangle typique » $h\,dx$ à distance $r$ de l’axe, le volume typique sera un tube de volume \[dV = 2 \pi r h dx.\]

Exercices

Cours 20

Calcul du volume du tore.

Intégrales impropres

Une intégrale est impropre si la région dont on veut déterminer l’aire n’est pas bornée (ne peut pas être encerclée par un cercle de rayon assez grand). La plupart du temps, les intégrales impropres sont associées à des asymptotes verticales ou horizontales.

Exercices:

Cours 21

Compléments théoriques si nécessaires et période d’exercices

Examen formatif 3

Cours 22

Examen 3

Cours 23

Présentation des suites et séries et début de l’étude de la série géométrique.

Diaporama présenté en classe.

Un article sur l’histoire des séries:
Marc-Antoine Coppo, Une histoire des séries infinies d’Oresme à Euler, La Gazette des Mathématiciens, no. 120. 2009. Article en ligne sur le site de l’auteur

Cours 24

Somme d’une série géométrique finie: $$\sum_{k=0}^n Ar^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}. $$

Série géométrique infinie: si $|r|<1$, alors

$$\sum_{k=0}^\infty Ar^k = \lim_{n\to \infty} A\frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{A}{1-r}. $$

Diaporama sur les séries géométriques

Une série de puissance est une série « polynomiale » :

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n.$$

Diaporama sur les séries de puissances

Exercices:

Devoir 2

Le devoir doit être fait en ligne en vous créant un compte sur le serveur sage du cégep de St-Laurent. Votre nom d’usager doit être de la forme Yannick_Delbecque car il doit me permettre de vous identifier facilement.

Se créer un compte sur le serveur Sage

Il n’y a pas de confirmation lors de la création d’un compte : il est créé immédiatement et vous pouvez tout de suite utiliser le serveur.

Notez que vos comptes sont temporaires ; si vous voulez garder les fichiers que vous y créez à long terme (après cet été), téléchargez-les !

Si jamais votre fureteur dit qu’il y a un problème avec le « certificat de sécurité », acceptez l’exception. Le site n’est pas encore parfaitement sécurité — c’est ok pour un devoir, mais ne pas y mettre vos données bancaires !

Une fois que vous êtes inscrit, identifiez-vous sur le serveur. Pour se connecter au serveur:

Page de connexion au serveur Sage.

Pour faire le devoir:

créez votre copie du devoir

En cliquant sur ce dernier lien, Sage va vous créer une copie personnelle de la feuille de calcul Sage « Devoir 2 NYB H2020 » dans les feuilles de calculs de votre compte sur le serveur. Lisez les instructions et répondre aux questions. Faire « Save » de temps en temps est toujours une bonne idée…

Pour faire le devoir, lire le texte et modifier les « cellules » (les boites où on peut entrer des commandes Sage) selon ce qui est demandé. Pour exécuter le code dans une cellule donnée, cliquez sur « evaluate » ou faire Shift-Enter (ce qui ne marche pas avec certains mauvais fureteurs comme certaines versions de explorer).

Faire « save and quit » quand vous voulez interrompre ou arrêter votre travail. Votre fichier sera disponible quand vous vous rebrancherez.

Vous pouvez consulter en tout temps la version originale du devoir si jamais vous voulez recommencer.

Remise du devoir

Le devoir n’a pas à être remis : je vais corriger vos feuilles de calcul directement sur le serveur à partir de la date de remise, donc assurez vous d’avoir sauvegardé votre devoir avant cette date. Toute sauvegarde effectuée après la date de remise sera considérée comme un devoir en retard – je peux voir les dates et heures de chacune de vos sauvegardes.

Ressources pour Sage

Si vous avez de la difficulté avec les commandes Sage, vous pouvez vous référer aux feuilles résumé publiée sur le site de Sage.

Cours 25

Séries de Taylor.

La série de Taylor centrée en $x=a$ d’une fonction $f(x)$ est la série de puissance

$$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n $$

$$a_n = \frac{f^{(n)}}{n!}.$$

Suites, convergence de séries.

Diaporama sur les séries de Taylor

Exercices:

Cours 26

Définition de la valeur d’une somme infinie, sommes partielles, convergence de suites, limites de suites.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Exercices

Cours 27

Critères de convergence: terme général, critère de l’intégrale, séries de Riemann (séries-$p$), comparaison, critère des polynômes, critère de d’Alembert et de Cauchy.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Exercices

Cours 28

Séries alternées, convergence absolue et conditionnelle, critères généralisés de d’Alembert et de Cauchy, rayon de convergence d’une série de puissance.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Examen formatif 4

Exercices:

Cours 29

Période d’exercice et de revision.

Cours 30

Examen final

Calcul différentiel H2020

Plan de cours – 201-NYA A2020

Faits saillants: aucun manuel obligatoire, notes de  cours  et exercices distribués en classe, quatre examens, deux tests et un devoir.

Note: les liens vers les documents qui n’ont pas encore été distribués ne fonctionnent pas !

L’ensemble des notes de cours distribuées en classe est toujours disponible dans le fichier suivant: Notes calcul différentiel. Ce fichier sera mis à jour régulièrement pendant la session.

Cours 1

Distribution du plan de cours: Plan de cours – 201-NYA A2020.

Exercices de révision pour… réviser les notions mathématiques vues au secondaires et mettre en place certaines nouvelles bases utiles pour ce cours.

D’autres exercices sur les notions de bases sont disponible au centre d’aide en mathématique.

Le questionnaire d’autodiagnostic (solutionnaire distribué en classe). Les résultats à ce test pourraient être utilisés pour déterminer si vous avez besoin d’un tuteur. Si votre résultat est insatisfaisant, pensez à faire un test diagnostique plus complet au centre d’aide en mathématique.

Enfin, si l’histoire des mathématiques (et des sciences en général) vous intéresse, si vous êtes curieux de savoir quand on a commencé à utiliser certaines notations ou quand on a eu certaines idées que nous voyons en classe, vous pouvez consulter la chronologie du développement des mathématiques que j’ai compilé.

Présentation générale du cours.

Document: Notes calcul differentiel 1.

Exercices: faire le test auto-diagnostic remis en classe.

Cours 2

Ensembles de nombres, terminologie et preuves. Zéros de polynômes, division polynomiale et théorème de factorisation.

Formulaire algèbre de base : ce formulaire contient la plupart des propriétés et résultats algébriques qui serons utilisés dans ce cour. Un certain nombre sont supposés déjà connu, mais d’autres sont probablement nouveaux pour tous.

Petite BD sur l’histoire du disciple de Pythagore (qui contient la preuve  que $\sqrt{2}$ est irrationnel !).

Exercices: Q5 à 25.

Cours 3

Fonctions élémentaires: types, graphe, composition et domaines. Taux de variation moyen et instantané. Calcul « naïf » des pentes de tangente à l’aide de différentielles.

Résumé fonctions élémentaires. Ce formulaire contient la plupart des propriétés des fonctions élémentaires qui serons utilisées dans ce cours. Un certain nombre sont supposées déjà connues, mais d’autres sont probablement nouvelles pour tous.

Exercices:

Cours 4

Calcul des pentes de tangente à l’aide de différentielles.

Documents: Exercices sur la définition de dérivée, Notes calcul différentiel, chapitre 2.

Exercices: tous.

Cours 5

Définition de la dérivée d’une fonction réelle.  Notations pour la dérivée. 

Formules de dérivation. Preuve de ces formules à l’aide de la notion de différentielle. Interprétation graphique de la dérivée.

Documents: Formulaire de dérivation, Exercices formules de dérivation et applications simples.

Exercices:

Cours 6

Mini-test 1

Dérivation de produits et de quotients.

Exercices:

Cours 7

Formatif 1

Période d’exercices

Cours 8

Examen 1

Cours 9

Règle de dérivation en chaine.

Exercices:

Cours 10

Introduction aux limites et à la continuité. Limites à droite et à gauche, limite de fonctions composées. Propriétés des limites.

Documents:

  • Notes calcul differentiel 4 (limites)
  • Résumé des propriétés des limites que vous verrez dans les cours de mathématiques du collégial; il y en a quelques-unes que vous n’avez pas encore vu dans ce cours ou que vous ne verrez que lors du cours de calcul intégral (comme la « règle de l’Hospital »).
  • Exercices sur les limites et la continuité

Exercices:

Cours 11

Limites indéterminées « \(\frac{0}{0}\) ». Propriété de localité d’une limite.  Dérivation implicite.

Exercices:

Cours 12

Application des limites pour définir la dérivée. Propriétés des dérivées.

Notes de cours: Chapitre 5

Exercices sur la définition de dérivée avec des limites.

Exercices:

Cours 13

Dérivabilité. Applications de la dérivé (et de  la règle de chaine) : taux liés. Dérivées d’ordre supérieur.

Documents: Exercices sur les taux liés.

Exercices:

Cours 14

Formatif 2 et période d’exercices

Document: Formatif 2.

Cours 15

Examen 2

Cours 16

Analyse de fonctions I – Limites et asymptotes Limites à l’infini, formes indéterminées avec infini, asymptotes verticales et horizontales. Formes indéterminées \(\frac{\infty}{\infty}\) et \(\infty-\infty\).

Document: exercices pour les limites à l’infini et les  asymptotes.

Exercices: tous.

Cours 17

Analyse de fonctions II – Croissance Introduction à la croissance d’un fonction et au lien entre la croissance et la dérivée première. Extrémums.
Document: exercices sur l’analyse de fonctions et les problèmes d’optimisation.

Documents: Exercices Analyse de fonctions, Notes calcul differentiel analyse de fonctions.

Exercices:

Cours 18

Analyse de fonctions III: concavité. Concavité, points d’inflexion et dérivée seconde.

Exercices:

Cours 19

Retour sur la concavité,  problèmes d’optimisation.

Document: exercices sur l’étude de fonctions avec solution détaillées  et problèmes d’optimisation.

Exercices: 

Cours 20

Minimums et maximum globaux.  Problèmes d’optimisation.

Exercices:

Cours 21

Période d’exercice

Examen formatif 3

Cours 22

Examen 3

Cours 23

Rappels sur les fonctions exponentielles et logarithmiques.  Propriétés de ces fonctions. Dérivées exponentielles et logarithmes.

Document: exercices sur les fonctions transcendantes

Exercices:

Cours 24

Rappels de trigonométrie. Fonctions trigonométriques.

Document: Formulaire de trigonométrie.

Exercices:

Cours 25 

Remise de l’examen 3

Preuve que \(\Big(\sin(x)\Big)’=\cos(x)\).

Cours 26

Dérivé des fonctions trigonométriques inverses.

Exercices:

Cours 27

Applications diverses et révision finale.

Exercices:

Cours 28

Examen  formatif 4

Cours 29

Période d’exercice

Cours 30

Examen 4 et remise du devoir.

Dates prévue: