Calcul intégral H2020

Documentation

Plan de cours 201-NYB H2020
Plan de cours 201-NYB-H2020 version pandémie
Le plan de cours, avec la pondération des évaluations et une liste de références en lien avec le cours.

Page Moodle du cours

Formulaire sur les limites
Formulaire de dérivation
Formulaire d’intégration
Un formulaire contenant toutes les formules d’intégration supposées connues dans ce cours

Note: les exercices sont tirés du manuel Charron et Parent, Calcul intégral, 5e édition, Chenelière éducation, 2016, ISBN: 978-2-7650-4748-3.

Cours 1

Distribution du Plan de cours.

Quelques rappels sur la dérivée et les limites, introduction à la règle de l’Hospital.

Exercices: pour réviser calcul diffrentiel: p3 Q7, 9, 10, p12 Q1, 2, 3 a) à g),

Dérivation logarithmique: p 13 Q10 et 11.

Règle de l’hospital: p 46 no 1, 2, 3, 4

Cours 2

La règle de l’Hospital s’applique aux formes « (0/0) », « (infty/infty) », ainsi qu’aux limites à droites, à gauche et à l’infini.

Formes indéterminées et « (infty-infty) », « (0cdot infty) », « (0^0) », « (1^infty) » et « (infty^0) »

Exercices: p 46 Q 5, 6, Q7 a) à d), Q8, 9, 10 a), b), Q 11 a) à m)

Récap: p 49 Q20 a) à j), Q25 a) à j)

Cours 3

Équation différentielles, primitives, intégrale indéfinie, formules d’intégration de base.

Distribué en classe: un formulaire d’intégration qui contient toutes les formules d’intégration qui seront supposées connues dans ce cours.

Exercices: p 68 Q1, 2, 3, 4, 5, 6 a) -> j).

Cours 4

Différentielles et changement de variables.

La différentielle d’une fonction (y=f(x)) est définie par $$dy = f'(x) dx.$$ Nous avons vu que la différentielle peut servir à approximer des fonctions de la manière suivante: $$f(a+dx) approx f(a)+dy.$$

La différentielle intervient dans l’utilisation du changement de variable dans les intégrales indéfinies: [int f(g(x)) g'(x) ,dx = int f(u) , du. ]

Exercices: p 79 Q 1 a) -> j), Q 2 a) -> j), Q 3 a) -> j), Q 4 a) -> c), Q 5 a) -> c), Q6, Q7, Q8 a) et b), Q9 a) et b).

 

Exercices sur la différentielle: p 19 Q1, Q4, Q5.

Cours 5

Introduction aux sommations et à la notation (displaystylesum).

Exercices: p132 Q1 à 4.

Cours 6

Période d’exercices.

Document: NYB H2020 – Formatif 1

Cours 7

Examen 1 (11 février)

Cours 8

Définition de l’intégrale définie, qui donne l’aire sous une courbe:

$$int_a^b f(x), dx = lim_{nto infty} sum_{k=1}^n fleft(x^ast_kright) Delta x_k $$

Exemples de calcul d’aire à l’aide de cette définition.

Propriétés générales de l’intégrale définie.

Devoir 1 à remettre au moment de l’examen 2.

Exercices: p 144 Q1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11.

Exercices Sommes de Rieman.

Cours 9

La relation entre la dérivée et l’intégrale définie est résumée dans les deux énoncés constituant le théorème fondamental du calcul:

[frac{d}{dx} int_a^x f(t) , dt = f(x) qquad int_a^b f'(x),dx = f(b) – f(a).]

Exercices: p. 144 Q 1,3,5,7,9,10,11

Cours 10

Changement de variable avec les intégrales définies:

[int_a^b f'(g(x))g'(x),dx = int_{g(a)}^{g(b)} f(u),du.]

Applications du théorème fondamental: calcul d’aires.

Exercices: p. 161 Q 1 à 11,  et p. 152 Q 2

Cours 11

Intégration par parties: la relation

$$int v , du = uv – int u, dv$$

et ses multiples utilisations pour calculer des intégrales indéfinies.

Nous avons aussi vu l’idée de formule de récurrence: n’apprenez pas par coeur les formules de récurrence!

Exercices: p 211 Q 1,2,3,4,5,6,7 a), 8, 9.

Cours 12

Rappels sur certaines identités trigonométriques comportant les fonctions sinus et cosinus (formulaire de trigo distribué en classe).

Exemples pour illustrer les différentes méthodes d’intégration pour les intégrales comportant les fonctions sinus et cosinus. L’idée générale est d’utiliser les identités trigonométriques pour transformer les intégrales.

Exercices:

Cours 13

Méthodes d’intégration pour les intégrales comportant les fonctions sécantes et tangentes

Variante: intégrales de fonction comportant les fonctions cosécantes et cotangentes.

Mélange de toutes les fonctions trigonométriques: ramener à des fonctions exprimées à l’aide des fonctions sin et cos ou exprimée avec les fonctions sec et tan.

Exercices: p221 Q2, 3, 4, 5  p 250 Q 1 et 2

Cours 14

Période d’exercice

Document: Formatif 2

Pour vous pratiquer à calculer l’aire sous une courbe à l’aide de la définition d’intégrale définie, calculer (int_1^2 (x+1)^2, dx) à l’aide de la définition et de vérifier le résultat à l’aide du théorème fondamental.


Interruption due à la pandémie

L’échéancier qui suit a été modifié


Semaine du 6 avril

Cours 15

Examen 2 (10%) – cet examen a lieu via Moodle : https://moodle.cegep-st-laurent.qc.ca/course/view.php?id=2392

Cours 16

Intégration par substitutions trigonométriques

Exercices:

Semaine du 13 avril

Cours 17

Exercices

Cours 18

Décomposition en fractions partielles.

Exercice:

Semaine du 20 avril

Cours 19

Exercices

Cours 20

Intégrales impropres

Une intégrale est impropre si la région dont on veut déterminer l’aire n’est pas bornée (ne peut pas être encerclée par un cercle de rayon assez grand). La plupart du temps, les intégrales impropres sont associées à des asymptotes verticales ou horizontales.

Exercices:

Examen formatif 3

Semaine du 27 avril

Cours 21

Période d’exercice

Cours 22

Examen 3 (25%)

Semaine du 4 mai

Cours 23

Présentation des suites et séries.

Document: diaporama présenté en classe.

Un article sur l’histoire des séries:
Marc-Antoine Coppo, Une histoire des séries infinies d’Oresme à Euler, La Gazette des Mathématiciens, no. 120. 2009.
Article en ligne sur le site de l’auteur

Devoir 2 (10%) à remettre à la fin de la session

Cours 24

Somme d’une série géométrique finie:

[sum_{k=0}^n Ar^k = frac{1-r^{n+1}}{1-r}. ]

Série géométrique infinie: si $|r|<1$, alors

[sum_{k=0}^infty Ar^k = lim_{nto infty} Afrac{1-r^{n+1}}{1-r} = frac{A}{1-r}. ]

Diaporama sur les séries géométriques

Une série de puissance est une série « polynomiale » :

[sum_{n=0}^{infty} a_n (x-a)^n.]

Diaporama sur les séries de puissances

Exercices:

Semaine du 11 mai

Cours 25

Séries de Taylor.

La série de Taylor centrée en $x=a$ d’une fonction $f(x)$ est la série de puissance

[sum_{n=0}^infty a_n (x-a)^n ]

[a_n = frac{f^{(n)}}{n!}.]

Diaporama sur les séries de Taylor

Exercices:

Cours 26

Exercices

Examen Formatif 4

Semaine du 18 mai

Cours 27

Période de révision

Cours 28

Examen final (25%). Date limite de remise pour le devoir 2 (10%).

Calcul différentiel H2020

Plan de cours – 201-NYA A2020 Plan de cours – 201-NYA A2020 – révisé pandémie Faits saillants: aucun manuel obligatoire, notes de  cours  et exercices distribués en classe, quatre examens, un test préparatoire et un devoir.
Me rencontrer ou me contacter pendant la période de pandémie
Je réponds aux question pendant la semaine via Mio. Vous pouvez
  • M’écrire votre question
  • M’envoyer une photo ou un PDF si vous voulez que j’annote ce que vous avez fait
  • Me demander un rendez-vous par visioconférence.

Échéancier

Cours 1

Distribution du plan de cours: Plan de cours – 201-NYA A2020. Exercices de révision pour… réviser les notions mathématiques vues au secondaires et mettre en place certaines nouvelles bases utiles pour ce cours. D’autres exercices sur les notions de bases sont disponible au centre d’aide en mathématique. Le questionnaire d’autodiagnostic (solutionnaire distribué en classe). Les résultats à ce test pourraient être utilisés pour déterminer si vous avez besoin d’un tuteur. Si votre résultat est insatisfaisant, pensez à faire un test diagnostique plus complet au centre d’aide en mathématique. Enfin, si l’histoire des mathématiques (et des sciences en général) vous intéresse, si vous êtes curieux de savoir quand on a commencé à utiliser certaines notations ou quand on a eu certaines idées que nous voyons en classe, vous pouvez consulter la chronologie du développement des mathématiques que j’ai compilé. Présentation générale du cours. Document: Notes calcul differentiel 1. Exercices: faire le test auto-diagnostic remis en classe.

Cours 2

Ensembles de nombres, terminologie et preuves. Zéros de polynômes, division polynomiale et théorème de factorisation. Formulaire algèbre de base : ce formulaire contient la plupart des propriétés et résultats algébriques qui serons utilisés dans ce cour. Un certain nombre sont supposés déjà connu, mais d’autres sont probablement nouveaux pour tous. Petite BD sur l’histoire du disciple de Pythagore (qui contient la preuve  que $\sqrt{2}$ est irrationnel !). Exercices: Exercices de révision Q5 à 25.

Cours 3

Fonctions élémentaires: types, graphe, composition et domaines. Exercices: Exercices de révision Q26 à 39.

Cours 4

Taux de variation moyen et instantané. Calcul des pentes de tangente à l’aide de différentielles. Documents: Exercices sur la définition de dérivée, Notes calcul differentiel 2. Exercices: Q 1 à 15

Cours 5

Définition de la dérivée d’une fonction réelle.  Notations pour la dérivée. Formules de dérivation. Preuve de ces formules à l’aide de la notion de différentielle. Interprétation graphique de la dérivée. Documents: Formulaire de dérivation, Exercices formules de dérivation et applications simples, Notes calcul differentiel 3 Exercices: Exercices sur la définition de dérive Q 16 à Q20. Exercices formules de dérivation: Q1 à 12.

Cours 6

Mini-test 1 (6 février) Dérivation de produits et de quotients. Exercices: Exercices formules de dérivation: Q13 à 21.

Cours 7

Document: NYA A2020 Formatif 1 Période d’exercices

Cours 8

Examen 1 (13 février)

Cours 9

Règle de dérivation en chaine. Exercices (formules de dérivations et quelques applications): Q 22, 23, 24, 25, 26, 27.

Cours 10

Introduction aux limites et à la continuité. Limites à droite et à gauche, limite de fonctions composées. Propriétés des limites. Documents: Exercices: Q 1 à 20, Q32 à 39.

Cours 11

Limites indéterminées « \(\frac{0}{0}\) ». Propriété de localité d’une limite. Exercices: Q 21 à 31.

Cours 12

Application des limites pour définir la dérivée. Propriétés des dérivées. Notes calcul differentiel – définition de la dérivée avec des limites. Exercices  NYA H2020 – Exercices définition derivée avec les limites. Exercices: Q 1 à 13.

Cours 13

Dérivabilité et continuité, types de non-dérivabilité. Applications de la dérivé (et de  la règle de chaine) : dérivation implicite. Exercices: (document « dérivées et application simple ») Q 28 à 32, Q42, 43, 48 Révision dérivées: Q 36 à 39.

Cours 14

Formatif 2 et période d’exercices Document: Formatif 2.

Interruption de la session à cause de la pandémie

La suite de cet échéancier a été modifié en conséquence.

Semaine du 6 avril

Cours 15

Examen 2 (10%) L’examen se déroulera sur Moodle: https://moodle.cegep-st-laurent.qc.ca/course/view.php?id=2364.

Cours 16

Analyse de fonctions I – Limites et asymptotes Limites à l’infini, formes indéterminées avec infini, asymptotes verticales et horizontales. Formes indéterminées \(\frac{\infty}{\infty}\) et \(\infty-\infty\). Document: Notes calcul differentiel – 6.1  Exercices pour les limites à l’infini et les  asymptotes. Devoir à remettre d’ici la fin de la session par Léa. (10%) Exercices: tous.

Semaine du 13 avril

Cours 17

Analyse de fonctions II – Croissance Introduction à la croissance d’un fonction et au lien entre la croissance et la dérivée première. Extrémums. Document: exercices sur l’analyse de fonctions et les problèmes d’optimisation. Documents: Exercices Analyse de fonctions, Notes calcul différentiel analyse de fonctions. Exercices:

Cours 18

Dérivées d’ordre supérieur. Analyse de fonctions III: concavité. Concavité, points d’inflexion et dérivée seconde. Exercices sur l’étude de fonctions avec solutions détaillées Exercices:

Semaine de 20 avril

Cours 19

Problèmes d’optimisation. Document:  exemples résolus de problèmes d’optimisation, exercices sur les problèmes d’optimisation. Exercices:

Cours 20

Examen formatif 3

Semaine du 27 avril

Cours 21

Examen 3 (26%)

Cours 22

Rappels sur les fonctions exponentielles et logarithmiques.  Propriétés de ces fonctions. Dérivées exponentielles et logarithmes. Document: exercices sur les fonctions transcendantes Exercices:

Semaine du 4 mai

Cours 23

Rappels de trigonométrie et sur les fonctions trigonométriques. Document: formulaire de trigonométrie. Exercices:

Cours 24

Dérivée des fonctions trigonométriques. Exercices:

Semaine du 11 mai

Cours 25

Rappels fonctions trigonométrique inverses. Exercices:

Cours 26

Dérivé des fonctions trigonométriques inverses. Exercices:

Semaine du 18 mai

Cours 27

Examen formatif

Cours 28

Examen 4 (30%) et remise du devoir (10%).