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Calcul intégral

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Horaire de dispo: lundi 12h00-14h00, jeudi 14h00-16h00

Je serai aussi disponible jeudi le 4 juin de 10h à 16h.

Horaire de reprises d'examen: les examen de reprise doivent débuter à un des moments suivant: lundi entre 11h00 et 14h30, mercredi entre 9h30 et 11h et jeudi à 14h00. Prévoir 2h30 pour faire l'examen.

Documentation

Plan de cours H2015

Le plan de cours, avec la pondération des évaluations et une liste de références en lien avec le cours.

Formulaire de dérivation

Un formulaire contenant toutes les formules de dérivations supposées connues dans ce cours, incluant une versions sous forme de différentielles.

Formulaire d'intégration

Un formulaire contenant toutes les formules d'intégration supposées connues dans ce cours.

Cours 1

Distribution du plan de cours

Quelques rappels sur la dérivée et les limites, introduction à la règle de l'Hospital.

Pour la dérivée : deux manières d'écrire la définition.

\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

\[ f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]

J'ai insisté un peu sur l'approximation qui en découle: si on approxime la fonction \(f\) par la droite tangente en \(x=a\), on trouve \[ f(x) \approx f(a) + f'(a) (x-a). \] En fait, l'équation de la droite tangeante est \[ y = f(a) + f'(a) (x-a).\]

J'ai rappelé le lien entre croissance et signe de \(f'\), concavité et signe \(f''\).

Pour les limites, j'ai rappelé le principe général pour lever les indéterminations : on peut remplacer une fonctions problématique en un point par une autre où le problème n'est plus: \[ \lim_{x\to a} F(x) = \lim_{x \to a} G(x) \] si \(F(x) = G(x)\) sur un intervalle ouvert \(I\) autour de \(a\).

Typiquement, on factorise dans \(F(x)\) un facteur que l'on simplifie pour obtenir \(G(x)\).

Le théorème de factorisation est souvent utile pour obtenir ce facteur dans le contexte des formes « \(0/0\) » impliquant des polynômes: \[ P(a) = 0 \iff P(x) = (x-a) Q(x) \]

On trouve le polynôme \(Q(x)\) en divisant \(P(x)\) par \(x-a\).

Quand les limites à calculer impliquent des fonctions transcendantes, ces techniques sont insuffisantes. On peut dans certains cas utiliser la comparaison (théorème du Sandwich ou des gendarmes) pour évaluer certaines limites, mais il existe une technique générale très puissante: la règle de l'Hospital.

J'ai montré en classe comment on utilise l'approximation \[ f(x) \approx f(a) + f'(a) (x-a) \] pour remplacer \(\frac{f(x)}{g(x)}\) dans une forme \(0/0\) par \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\). Cela donne la Règle de l'Hospital: \[ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \] si le membre de droite est une forme « \(0/0\) », si la limite du membre de droite existe et ... on verra les conditions complètes dans le cours 2 !

J'ai distribué en classe un formulaire de dérivation et un formulaire sur les limites

Exercices: (pour réviser les dérivées: p16 nos 1 à 4). Dérivation logarithmique: p 15 no 7 a, b et no 12 a, b, c, d. Règle de l'hospital: p 47 nos 3 a,b,c, 4 a,b,c.

Cours 2

La règle de l'Hospital s'applique aux formes « \(0/0\) », « \(\infty/\infty\) », ainsi qu'aux limites à droites, à gauche et à l'infini.

J'ai discuté des formes formes indéterminées et « \(\infty-\infty\) », « \(0\cdot \infty\) », « \(0^0\) », « \(1^\infty\) » et « \(\infty^0\) » peuvent toutes être ramenées à une des formes où la règle de l'Hospital s'applique à l'aide des « trucs » suivants: « Cas \(\infty-\infty\) » : Mise en évidence.

« Cas \(0\cdot \infty\) »
Inversion d'un des facteurs en utilisant une des égalités

\[ \frac{f(x)}{1/g(x)} = f(x)g(x) = \frac{g(x)}{1/f(x)}. \]

Cas « \(0^0\) », « \(1^\infty\) » et « \(\infty^0\) »
Insérer un \(\ln\) pour se ramener à une forme « \(0\cdot \infty\) » en utilisant la propriété \(\ln(b^a)=a\ln(b)\). On peut le faire à l'aide de l'identité \(A=\ln\big(\mathrm{e}^A\big)\) ou en applicant la fonction \(\ln\) à chaque membre de l'égalité \(L = \lim_{x\to a} f(x)^{g(x)}\).

Execices: p. 47 nos 1 a) -- f), 2, 3 a) -- f), 4 a) -- c), 5 a), c), f), g), 6 a), b), c), 7 a), b), c), 9 a), b) c), d) [11 récap].

Cours 3

Équation différentielles, primitives, intégrale indéfinie, formules d'intégration de base.

J'ai distribué en classe un formulaire d'intégration qui contient toutes les formules d'intégration qui seront supposées connues dans ce cours.

Exercices: p. 73 nos 1 a,c, 2 a, c, 3 a,b,c,d,e,f, 4 a,b,c,e, 5 a,b,d,h,i, 6, a,c,d.

Cours 4

Différentielles et changement de variables.

La différentielle d'une fonction \(y=f(x)\) est définie par \[ dy = f'(x) dx.\] Nous avons vu que la différentielle peut servir à approximer des fonctions de la manière suivante: \[ f(a+dx) \approx f(a)+dy. \]

La différentielle intervient dans l'utilisation du changement de variable dans les intégrales indéfinies: \[ \int f(g(x)) g'(x) \,dx = \int f(u) \, du \]

Exercices: p 85 nos 1 a,c,e,f,g,k,l, 2 a,c, f, i 3 a,b,c,d,e,f,j,n 8 a,b.

Exercices sur la différentielle: p. 65 no 4,5.

Cours 5

Introduction aux sommations.

Exercices: p. 139 nos 1 a,c,b, 2, a,b,c,f, 3 a) i, ii, b) i, ii, iii, 4 a,b,c.

Cours 6

Période d'exercices.

Cours 7

Examen 1

Cours 8

J'ai donné la définition de l'intégrale définie, qui donne l'aire sous une courbe: \[ \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(x^\ast_k\right) \Delta x_k \] et j'ai fait deux exemples de calcul d'aire à l'aide de cette définition.

J'ai aussi donné quelques propriétés importantes de l'intégrale définie.

Cours 9

Théorème fondamental du calcul (dont une partie sert de logo pour ce site) - la relation entre la dérivée et l'intégrale définie est résumée dans les deux énoncés constituant le théorème fondamental du calcul: \[ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x) \qquad \int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a). \]

J'ai distribué en classe une nouvelle version du formulaire d'intégration avec une nouvelle page sur l'intégrale définie.

Exercices: p 160 nos 5,8, 1 a) à j), 3 a,c,d,e,g,k,l.

Cours 10

Changement de variable avec les intégrales définies: \[ \int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du. \]

Applications du théorème fondamental: calcul d'aires.

Pour mieux « sentir » l'effet d'un changement de variable, je vous propose cette petite démonstration géogébra. Le curseur permet de controler la position de la base \(dx\) et de voir quelle base \(du\) lui correspond. Notez que \(du\) « revient sur lui même » à un certain moment à cause de la forme particulière de la fonction \(u=f(x)\). Tentez d'expliquer pourquoi ça ne change rien à la formule de changement de variable donnée plus haut!

Exercices: p. 169 nos 1, 2 a, 3 a,b, 4, 5 a, b, c, 6 b, d, e, 7 a, b.

Cours 11

Intégration par parties: la relation \[\int v \, du = uv - \int u\, dv\] et ses multiples utilisations pour calculer des intégrales indéfinies.

Nous avons aussi vu l'idée de formule de récurrence: n'apprenez pas par coeur les formules de récurrence!

Exercices: p 214 nos 1, 2, 3 a, b, 5 a, b, c, e, 6 a, c , d, 7 a, b, 8.

Cours 12

J'ai rappelé certaines identités trigonométriques comportant les fonctions sinus et cosinus (voir le formulaire distribué en classe).

J'ai fait plusieurs exemples pour illustrer les différentes méthodes d'intégration pour les intégrales comportant les fonctions sinus et cosinus. L'idée générale est d'utiliser les identités trigonométriques pour transformer les intégrales.

Exercices: p 223 nos 1, 5 a,b.

Cours 13

Méthodes d'intégration pour les intégrales comportant les fonctions sécantes et tangentes

J'ai aussi expliqué que ces méthodes peuvent être facilement adaptées aux intégrales de fonction comportant les fonctions cosécantes et cotangentes.

Enfin, j'ai expliqué que l'on peut maintenant intégrer une fonction comportant un mélange de toutes les fonctions trigonométriques en les ramenant à des fonctions exprimées à l'aide de sin et cos ou exprimée avec sec et tan.

Exercices: p 223 nos 2, 3 a,c, 4 a, b, e, g, h, i, 5 c.

Cours 14

Période d'exercice

Pour vous préparer à l'examen 2: ce prétest 2 est un ancien examen.

Pour vous pratiquer à calculer l'aire sous une courbe à l'aide de la définition d'intégrale définie, calculer \(\int_1^2 (x+1)^2\, dx\) à l'aide de la définition et de vérifier le résultat à l'aide du théorème fondamental.

Cours 15

Examen 2

Cours 16

G5 15 avril G4 16 avril

Intégration par substitution trigonométrique

Cours 17

G5 17 avril G4 20 avril

Intégration par substitution trigonométrique

Exercices: p. 238 nos 1, 2 a,b 3 a,b,c,f 4 a,b, d, f , 5 , 6 a, b, d , 10 a,b.

Cours 18

G5 22 avril G4 23 avril

Décomposition en fractions partielles

Exercice: p. 251 nos 1, ,2 3 a,b,c,f,i, 4 a, d, f.

Cours 19

G5 24 avril G4 27 avril

Volumes de révolution : nous avons vu deux manières de calculer des volumes de révolutions, chacune utile selon les situations.

Si l'axe de rotation est perpendiculaire à un « rectangle typique » \(r\,dx\), le volume typique sera un disque de volume \[ dV = \pi r^2 dx.\]

Si l'axe de rotation est perpendiculaire à un « rectangle typique » \(h\,dx\) à distance \(r\) de l'axe, le volume typique sera un tube de volume \[ dV = 2 \pi r h dx. \]

Exercices: p. 273 nos 1, a, b, c, e, 2 a, b, c, e, 3 c, 4 a, b, c, d , 6 a.

Cours 20

G5 29 avril G4 4 mai

Calcul du volume du tore.

Intégrales impropres partie 1.

Une intégrale est impropre si la région dont on veut déterminer l'aire n'est pas bornée (ne peut pas être encerclée par un cercle de rayon assez grand). La plupart du temps, les intégrales impropres sont associées à des asymptotes verticales ou horizontales.

Exercices: p. 298 nos 1, 2 a, b, c, d, f 3 c, 4 a, c, d , 5 a, b, c, 7 d

Cours 21

G5 6 mai G4 7 mai

Compléments théoriques si nécessaires et période d'exercices

Ancien examen 3

Cours 22

G5 8 mai G4 11 mai

Examen 3

Cours 23

G5 15 mai G4 14 mai

Présentation des suites et séries et début de l'étude de la série géométrique.

Diaporama que j'ai présenté

Un article sur l'histoire des séries:
Marc-Antoine Coppo, Une histoire des séries infinies d’Oresme à Euler, La Gazette des Mathématiciens, no. 120. 2009. Article en ligne sur le site de l'auteur

Cours 24

G5 20 mai G4 19 mai (horaire du lundi)

Somme d'une série géométrique finie: \[ \sum_{k=0}^n Ar^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}. \]

Série géométrique infinie: si \(|r|<1\), alors \[ \sum_{k=0}^\infty Ar^k = \lim_{n\to \infty} A\frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{A}{1-r}. \]

Diaporama sur les séries géométriques

Une série de puissance est une série « polynomiale » : \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n \].

Diaporama sur les séries de puissances

Exercices:

p. 321 nos 1, 2, a, b, c, d 3 a, b, c, d, e

p. 337 nos 7,8,9 a à f

p. 372 nos 4 c, d, e (sans déterminer le rayon de convergence), 6 (sans déterminer l'erreur) et 7.

p. 392 no 7 a à e

Devoir 2

Le devoir doit être fait en ligne en vous créant un compte sur le serveur sage du cégep de St-Laurent. Votre nom d'usager doit être de la forme Yannick_Delbecque car il doit me permettre de vous identifier facilement.

Se créer un compte sur le serveur Sage

Il n'y a pas de confirmation lors de la création d'un compte : il est créé immédiatement et vous pouvez tout de suite utiliser le serveur.

Notez que vos comptes sont temporaires ; si vous voulez garder les fichiers que vous y créez à long terme (après cet été), téléchargez-les !

Si jamais votre fureteur dit qu'il y a un problème avec le « certificat de sécurité », acceptez l'exception. Le site n'est pas encore parfaitement sécurité -- c'est ok pour un devoir, mais ne pas y mettre vos données bancaires !

Une fois que vous êtes inscrit, identifiez-vous sur le serveur. Pour se connecter au serveur:

Page de connexion au serveur Sage.

Pour faire le devoir:

créez votre copie du devoir

En cliquant sur ce dernier lien, Sage va vous créer une copie personnelle de la feuille de calcul Sage « Devoir 2 NYB H2015 » dans les feuilles de calculs de votre compte sur le serveur. Lisez les instructions et répondre aux questions. Faire « Save » de temps en temps est toujours une bonne idée...

Pour faire le devoir, lire le texte et modifier les « cellules » (les boites où on peut entrer des commandes Sage) selon ce qui est demandé. Pour exécuter le code dans une cellule donnée, cliquez sur « evaluate » ou faire Shift-Enter (ce qui ne marche pas avec certains mauvais fureteurs comme certaines versions de explorer).

Faire « save and quit » quand vous voulez interrompre ou arrêter votre travail. Votre fichier sera disponible quand vous vous rebrancherez.

Vous pouvez consulter en tout temps la version originale du devoir si jamais vous voulez recommencer.

Remise du devoir

Le devoir n'a pas à être remis : je vais corriger vos feuilles de calcul directement sur le serveur à partir de la date de remise, donc assurez vous d'avoir sauvegardé votre devoir avant cette date. Toute sauvegarde effectuée après la date de remise sera considérée comme un devoir en retard - je peux voir les dates et heures de chacune de vos sauvegardes.

Ressources pour Sage

Si vous avez de la difficulté avec les commandes Sage, vous pouvez vous référer aux feuilles résumé publiée sur le site de Sage, dont celle conçue pour l'algèbre linéaire.

Cours 25

G5 22 mai G4 21 mai

Séries de Taylor.

La série de Taylor centrée en \(x=a\) d'une fonction \(f(x)\) est la série de puissance \[ \sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n \]\[a_n = \frac{f^{(n)}}{n!}.\]

Suites, convergence de séries.

Diaporama sur les séries de Taylor

Exercices: p. 387 nos 1, 3 a,b,d (sans déterminer les intervalles de convergence), 4 a, b, c, 5 a, b, 6 a, b, c.

Cours 26

G5 27 mai G4 25 mai

Définition de la valeur d'une somme infinie, sommes partielles, convergence de suites, limites de suites.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Exercices p. 321 nos 1, 3, a) à h),4 a,b,c, 5 a) à j), 6, 7 a, b, c, e, 10 a, b, 11 a, b, 12

Cours 27

G5 29 mai G4 28 mai

Critères de convergence: terme général, critère de l'intégrale, séries de Riemann (séries-\(p\)), comparaison, critère des polynômes, critère de d'Alembert et de Cauchy.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Exercices: p. 353 nos 2 a, b, c, d, 3 a, b, 4, 5, 6, 7 a, b, c, e, f, 8 a, b, c, 9 a, b, c, 11 a, b, c, d, f, h, i.

Cours 28

G5 3 juin G4 1er juin

Séries alternées, convergence absolue et conditionnelle, critères généralisés de d'Alembert et de Cauchy, rayon de convergence d'une série de puissance.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Ancien examen 4

Exercices:

Période d'exercice.

Cours 29

G5 5 juin G4 8 juin

Examen final