Title: Révision algèbre linéaire
Tags: Algèbre_linéaire Mathématiques Géométrie_vectorielle Algèbre Définitions Déterminants Plans Droite Rang Géométrie Projection Angle Distance Forme_ERL Mahtématiques Perpendicularité Pivots Produit_scalaire Produit_vectoriel

Q: Déterminant \(2\times 2\) (algébriquement)
A: \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc \)

Q: Déterminant \(2\times 2\) (géométrique)
A: Aire du parallélograme engendré par deux vecteurs

Q: \(\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}\)   calcul à l'aide de déterminants \(2\times 2\)
A: \( a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
-a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}
+a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)

Q: Interprétation géométrique du déterminant \(3\times 3\)
A: Volume du parallélépipède engendré par trois vecteurs

Regle de Sarrus pour le déterminant \(3\times 3\)

Q: Définition algébrique de \(\mathrm{proj}(\vec{u},\vec{v})\)
A: \(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} \vec{v}\) ou \(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \)

Q: Proposition: la grandeur du produit vectoriel \(\left\|\vec{u}\wedge \vec{v}\right\| \)
A: \( \|\vec{u}\times \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin(\theta)\).
C'est l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)

Q: Commutativité produit scalaire
A: \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\)

Q: Les coordonnées d'un point \(P\) dans un repère \( O,\mathcal{B}\)
A: composantes de \(\vec{OP}\) dans la base \(\mathcal{B}\)

Q: Définition: \(\vec{u}\bot\vec{v}\)
A: \( \vec{u}\bot \vec{v} \iff\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \)

Q: Relation entre le produit scalaire et l'angle entre deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) (loi des cos)
A: \(\vec{u}\cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\)

Q: Définition: l'ensemble \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}\) est générateur d'un espace vectoriel si...
A: tout vecteur est une combinaison linéaire de \(\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}\)

Q: Somme de \(\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)\) et \(\vec{v} = (v_1,v_2,v_3) \)
A: \(\vec{u}+\vec{v} = (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)\)

Q: Produit par un scalaire \( a\vec{u} = a (u_1,u_2,u_3) \)
A: \( a \vec{u} = (au_1,au_2,au_3)\)

Q: Si \(A\) et \(B\) sont des points dans un repère \(O,\mathcal{B}\), alors \(\vec{AB}=\)
A: \(\vec{OB} - \vec{OA}\)

Q: Si \( \vec{u} = (u_1,u_2,u_3) \), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sont appelés les .... de \(\vec{u}\)
A: composantes

Représentation graphique de la somme vectorielle \( \vec{u}+\vec{v}\)

Représentation graphique de la différence vectorielle \(\vec{v}-\vec{u}\)

Q: Le produit vectoriel \( \vec{u}\wedge \vec{v}\) est anticommunatif, c'est à dire:
A: \(\vec{u}\times \vec{v} = - \vec{v}\wedge \vec{u}\)

Q: Équation vectorielle de la droite
A: \[ \vec{OP} = \vec{OA} + t \vec{v}. \]

Q: Équation symétrique de la droite dans \(\mathbb{R}^2\)
A: \[ \frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} \]

Q: Équation paramétrique de la droite dans \(\mathbb{R}^3\)
A: \[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0+ ct. \end{cases} \]

Q: Distance entre deux droites gauches dans \(\mathbb{R}^3\)
A: \[ d = \left\|\mathrm{proj}\left(\vec{A_1A_2},\vec{v_1}\wedge \vec{v_2}\right) \right\| = \frac{\left|\vec{A_1A_2}\cdot \left(\vec{v_1}\times \vec{v_2}\right)\right|}{\|\vec{v_1}\wedge \vec{v_2}\|}. \]

Q: Équation normale du plan perpendiculaire à \(\vec{n} = (a,b,c) \)
A: \(ax+by+cz=d\)

Q: Distance \(d\) entre le point \(P\) et le plan \(\mathcal{P}\) passant par le point \(A\) et perpendiculaire à \(\vec{n}\), algébriquement
A: \[ d = \left\|\mathrm{proj}\left(\vec{AP},\vec{n}\right) \right\| \]

Q: Distance \(d\) entre les plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\), algébriquement
A: \[ d = \left\|\mathrm{proj}\left(\vec{A_1A_2},\vec{n}\right) \right\| \]

Q: Angle entre deux plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\), algébriquement
A: \[ \theta = \mathrm{acos}\left( \frac{ \left|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}\right|}{\|\vec{n_1}\| \|\vec{n_2}\|}\right) \]

Q: Définition algébrique du déterminant \(3\times 3\)
A: \[ \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix} =
a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
-a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}
+a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\]

Interprétation géométrique de \(\mathrm{proj}(\vec{u},\vec{v})\)

Q: Longueur de la projection de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\)
A: \(\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{v}\|}\)

Distance \(d\) entre les plans parallèles \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\), représentation géométrique

Angle entre deux plans \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\), représentation géométrique

Angle entre deux droites, géométriquent

Distance entre le point \(P\) et la droite \(\mathcal{D}\), géométriquement

Q: Les opérations élémentaires sur les lignes sont
1. [...]
2. [...]
3. [...]
A: Échanger deux lignes : \(L_j\leftrightarrow L_j\); Multiplier une ligne par une constante non-nulle : \( L_i \leftarrow k L_i, \, k \neq 0\); Remplacer une ligne par sa somme avec un multiple d'une autre ligne : \(L_i \leftarrow L_i+k L_j\)

Q: Notation : \(A\sim B\)
A: Notation : \( A\) peut être transformé en \(B\) avec des opérations élémentaires sur les lignes

Q: Théorème: toute matrice \(A\) [...] à [...]
A: est équivalente ligne; une unique matrice ERL \(R\)

Q: Théorème :  Si \(A\) est la matrice \(m\times (n+1)\) associée à un système d'équation à [...] équations et [...] variables, alors la solution du système est de dimension [...]
A: \(m\); \(n\); \(n-\mathrm{rang}(A)\)

Q: Abbréviation: [...] signifie [...]
A: ERL; "Échelonnée réduite ligne"

Q: Définition : le [...] d'une matrice  \(A\) est [...] de [...] de \(A\)
A: rang; le nombre de pivots; la forme ERL