Calcul intégral H2020

Documentation

Plan de cours 201-NYB H2020
Le plan de cours, avec la pondération des évaluations et une liste de références en lien avec le cours.
Formulaire sur les limites
Formulaire de dérivation
Formulaire d’intégration
Un formulaire contenant toutes les formules d’intégration supposées connues dans ce cours

Note: les exercices sont tirés du manuel Charron et Parent, Calcul intégral, 5e édition, Chenelière éducation, 2016, ISBN: 978-2-7650-4748-3.

Cours 1

Distribution du Plan de cours.

Quelques rappels sur la dérivée et les limites, introduction à la règle de l’Hospital.

Exercices: pour réviser calcul diffrentiel: p3 Q7, 9, 10, p12 Q1, 2, 3 a) à g),

Dérivation logarithmique: p 13 Q10 et 11.

Règle de l’hospital: p 46 no 1, 2, 3, 4

Cours 2

La règle de l’Hospital s’applique aux formes « \(0/0\) », « \(\infty/\infty\) », ainsi qu’aux limites à droites, à gauche et à l’infini.

Formes indéterminées et « \(\infty-\infty\) », « \(0\cdot \infty\) », « \(0^0\) », « \(1^\infty\) » et « \(\infty^0\) »

Exercices: p 46 Q 5, 6, Q7 a) à d), Q8, 9, 10 a), b), Q 11 a) à m)

Récap: p 49 Q20 a) à j), Q25 a) à j)

Cours 3

Équation différentielles, primitives, intégrale indéfinie, formules d’intégration de base.

Distribué en classe: un formulaire d’intégration qui contient toutes les formules d’intégration qui seront supposées connues dans ce cours.

Exercices: p 68 Q1, 2, 3, 4, 5, 6 a) -> j).

Cours 4

Différentielles et changement de variables.

La différentielle d’une fonction \(y=f(x)\) est définie par $$dy = f'(x) dx.$$ Nous avons vu que la différentielle peut servir à approximer des fonctions de la manière suivante: $$f(a+dx) \approx f(a)+dy.$$

La différentielle intervient dans l’utilisation du changement de variable dans les intégrales indéfinies: \[\int f(g(x)) g'(x) \,dx = \int f(u) \, du. \]

Exercices: p 79 Q 1 a) -> j), Q 2 a) -> j), Q 3 a) -> j), Q 4 a) -> c), Q 5 a) -> c), Q6, Q7, Q8 a) et b), Q9 a) et b).

 

Exercices sur la différentielle: p 19 Q1, Q4, Q5.

Cours 5

Introduction aux sommations et à la notation \(\displaystyle\sum\).

Exercices: p132 Q1 à 4.

Cours 6

Période d’exercices.

Document: NYB H2020 – Formatif 1

Cours 7

Examen 1 (11 février)

Cours 8

Définition de l’intégrale définie, qui donne l’aire sous une courbe:

$$\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(x^\ast_k\right) \Delta x_k $$

Exemples de calcul d’aire à l’aide de cette définition.

Propriétés générales de l’intégrale définie.

Devoir 1 à remettre au moment de l’examen 2.

Exercices: p 144 Q1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11.

Exercices Sommes de Rieman.

Cours 9

La relation entre la dérivée et l’intégrale définie est résumée dans les deux énoncés constituant le théorème fondamental du calcul:

\[\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x) \qquad \int_a^b f'(x)\,dx = f(b) – f(a).\]

Exercices:

Cours 10

Changement de variable avec les intégrales définies:

\[\int_a^b f'(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.\]

Applications du théorème fondamental: calcul d’aires.

Exercices:

Cours 11

Intégration par parties: la relation

$$\int v \, du = uv – \int u\, dv$$

et ses multiples utilisations pour calculer des intégrales indéfinies.

Nous avons aussi vu l’idée de formule de récurrence: n’apprenez pas par coeur les formules de récurrence!

Exercices:

Cours 12

Rappels sur certaines identités trigonométriques comportant les fonctions sinus et cosinus (formulaire distribué en classe).

Exemples pour illustrer les différentes méthodes d’intégration pour les intégrales comportant les fonctions sinus et cosinus. L’idée générale est d’utiliser les identités trigonométriques pour transformer les intégrales.

Exercices:

Cours 13

Méthodes d’intégration pour les intégrales comportant les fonctions sécantes et tangentes

Variante: intégrales de fonction comportant les fonctions cosécantes et cotangentes.

Mélange de toutes les fonctions trigonométriques: ramener à des fonctions exprimées à l’aide des fonctions sin et cos ou exprimée avec les fonctions sec et tan.

Exercices

Cours 14

Période d’exercice

Formatif 2

Pour vous pratiquer à calculer l’aire sous une courbe à l’aide de la définition d’intégrale définie, calculer \(\int_1^2 (x+1)^2\, dx\) à l’aide de la définition et de vérifier le résultat à l’aide du théorème fondamental.

Cours 15

Examen 2

Cours 16

Intégration par substitution trigonométrique

Cours 17

Intégration par substitution trigonométrique

Exercices:

Cours 18

Décomposition en fractions partielles

Exercice:

Cours 19

Volumes de révolution.

Si l’axe de rotation est perpendiculaire à un « rectangle typique » $r\,dx$, le volume typique sera un disque de volume \[dV = \pi r^2 dx.\]

Si l’axe de rotation est perpendiculaire à un « rectangle typique » $h\,dx$ à distance $r$ de l’axe, le volume typique sera un tube de volume \[dV = 2 \pi r h dx.\]

Exercices

Cours 20

Calcul du volume du tore.

Intégrales impropres

Une intégrale est impropre si la région dont on veut déterminer l’aire n’est pas bornée (ne peut pas être encerclée par un cercle de rayon assez grand). La plupart du temps, les intégrales impropres sont associées à des asymptotes verticales ou horizontales.

Exercices:

Cours 21

Compléments théoriques si nécessaires et période d’exercices

Examen formatif 3

Cours 22

Examen 3

Cours 23

Présentation des suites et séries et début de l’étude de la série géométrique.

Diaporama présenté en classe.

Un article sur l’histoire des séries:
Marc-Antoine Coppo, Une histoire des séries infinies d’Oresme à Euler, La Gazette des Mathématiciens, no. 120. 2009. Article en ligne sur le site de l’auteur

Cours 24

Somme d’une série géométrique finie: $$\sum_{k=0}^n Ar^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}. $$

Série géométrique infinie: si $|r|<1$, alors

$$\sum_{k=0}^\infty Ar^k = \lim_{n\to \infty} A\frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{A}{1-r}. $$

Diaporama sur les séries géométriques

Une série de puissance est une série « polynomiale » :

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n.$$

Diaporama sur les séries de puissances

Exercices:

Devoir 2

Le devoir doit être fait en ligne en vous créant un compte sur le serveur sage du cégep de St-Laurent. Votre nom d’usager doit être de la forme Yannick_Delbecque car il doit me permettre de vous identifier facilement.

Se créer un compte sur le serveur Sage

Il n’y a pas de confirmation lors de la création d’un compte : il est créé immédiatement et vous pouvez tout de suite utiliser le serveur.

Notez que vos comptes sont temporaires ; si vous voulez garder les fichiers que vous y créez à long terme (après cet été), téléchargez-les !

Si jamais votre fureteur dit qu’il y a un problème avec le « certificat de sécurité », acceptez l’exception. Le site n’est pas encore parfaitement sécurité — c’est ok pour un devoir, mais ne pas y mettre vos données bancaires !

Une fois que vous êtes inscrit, identifiez-vous sur le serveur. Pour se connecter au serveur:

Page de connexion au serveur Sage.

Pour faire le devoir:

créez votre copie du devoir

En cliquant sur ce dernier lien, Sage va vous créer une copie personnelle de la feuille de calcul Sage « Devoir 2 NYB H2020 » dans les feuilles de calculs de votre compte sur le serveur. Lisez les instructions et répondre aux questions. Faire « Save » de temps en temps est toujours une bonne idée…

Pour faire le devoir, lire le texte et modifier les « cellules » (les boites où on peut entrer des commandes Sage) selon ce qui est demandé. Pour exécuter le code dans une cellule donnée, cliquez sur « evaluate » ou faire Shift-Enter (ce qui ne marche pas avec certains mauvais fureteurs comme certaines versions de explorer).

Faire « save and quit » quand vous voulez interrompre ou arrêter votre travail. Votre fichier sera disponible quand vous vous rebrancherez.

Vous pouvez consulter en tout temps la version originale du devoir si jamais vous voulez recommencer.

Remise du devoir

Le devoir n’a pas à être remis : je vais corriger vos feuilles de calcul directement sur le serveur à partir de la date de remise, donc assurez vous d’avoir sauvegardé votre devoir avant cette date. Toute sauvegarde effectuée après la date de remise sera considérée comme un devoir en retard – je peux voir les dates et heures de chacune de vos sauvegardes.

Ressources pour Sage

Si vous avez de la difficulté avec les commandes Sage, vous pouvez vous référer aux feuilles résumé publiée sur le site de Sage.

Cours 25

Séries de Taylor.

La série de Taylor centrée en $x=a$ d’une fonction $f(x)$ est la série de puissance

$$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n $$

$$a_n = \frac{f^{(n)}}{n!}.$$

Suites, convergence de séries.

Diaporama sur les séries de Taylor

Exercices:

Cours 26

Définition de la valeur d’une somme infinie, sommes partielles, convergence de suites, limites de suites.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Exercices

Cours 27

Critères de convergence: terme général, critère de l’intégrale, séries de Riemann (séries-$p$), comparaison, critère des polynômes, critère de d’Alembert et de Cauchy.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Exercices

Cours 28

Séries alternées, convergence absolue et conditionnelle, critères généralisés de d’Alembert et de Cauchy, rayon de convergence d’une série de puissance.

Diaporama la convergence de suite et de séries

Examen formatif 4

Exercices:

Cours 29

Période d’exercice et de revision.

Cours 30

Examen final

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