Calcul intégral H2020

Documentation

Plan de cours 201-NYB H2020
Plan de cours 201-NYB-H2020 version pandémie
Le plan de cours, avec la pondération des évaluations et une liste de références en lien avec le cours.

Page Moodle du cours

Formulaire sur les limites
Formulaire de dérivation
Formulaire d’intégration
Un formulaire contenant toutes les formules d’intégration supposées connues dans ce cours

Note: les exercices sont tirés du manuel Charron et Parent, Calcul intégral, 5e édition, Chenelière éducation, 2016, ISBN: 978-2-7650-4748-3.

Cours 1

Distribution du Plan de cours.

Quelques rappels sur la dérivée et les limites, introduction à la règle de l’Hospital.

Exercices: pour réviser calcul diffrentiel: p3 Q7, 9, 10, p12 Q1, 2, 3 a) à g),

Dérivation logarithmique: p 13 Q10 et 11.

Règle de l’hospital: p 46 no 1, 2, 3, 4

Cours 2

La règle de l’Hospital s’applique aux formes « (0/0) », « (infty/infty) », ainsi qu’aux limites à droites, à gauche et à l’infini.

Formes indéterminées et « (infty-infty) », « (0cdot infty) », « (0^0) », « (1^infty) » et « (infty^0) »

Exercices: p 46 Q 5, 6, Q7 a) à d), Q8, 9, 10 a), b), Q 11 a) à m)

Récap: p 49 Q20 a) à j), Q25 a) à j)

Cours 3

Équation différentielles, primitives, intégrale indéfinie, formules d’intégration de base.

Distribué en classe: un formulaire d’intégration qui contient toutes les formules d’intégration qui seront supposées connues dans ce cours.

Exercices: p 68 Q1, 2, 3, 4, 5, 6 a) -> j).

Cours 4

Différentielles et changement de variables.

La différentielle d’une fonction (y=f(x)) est définie par $$dy = f'(x) dx.$$ Nous avons vu que la différentielle peut servir à approximer des fonctions de la manière suivante: $$f(a+dx) approx f(a)+dy.$$

La différentielle intervient dans l’utilisation du changement de variable dans les intégrales indéfinies: [int f(g(x)) g'(x) ,dx = int f(u) , du. ]

Exercices: p 79 Q 1 a) -> j), Q 2 a) -> j), Q 3 a) -> j), Q 4 a) -> c), Q 5 a) -> c), Q6, Q7, Q8 a) et b), Q9 a) et b).

 

Exercices sur la différentielle: p 19 Q1, Q4, Q5.

Cours 5

Introduction aux sommations et à la notation (displaystylesum).

Exercices: p132 Q1 à 4.

Cours 6

Période d’exercices.

Document: NYB H2020 – Formatif 1

Cours 7

Examen 1 (11 février)

Cours 8

Définition de l’intégrale définie, qui donne l’aire sous une courbe:

$$int_a^b f(x), dx = lim_{nto infty} sum_{k=1}^n fleft(x^ast_kright) Delta x_k $$

Exemples de calcul d’aire à l’aide de cette définition.

Propriétés générales de l’intégrale définie.

Devoir 1 à remettre au moment de l’examen 2.

Exercices: p 144 Q1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11.

Exercices Sommes de Rieman.

Cours 9

La relation entre la dérivée et l’intégrale définie est résumée dans les deux énoncés constituant le théorème fondamental du calcul:

[frac{d}{dx} int_a^x f(t) , dt = f(x) qquad int_a^b f'(x),dx = f(b) – f(a).]

Exercices: p. 144 Q 1,3,5,7,9,10,11

Cours 10

Changement de variable avec les intégrales définies:

[int_a^b f'(g(x))g'(x),dx = int_{g(a)}^{g(b)} f(u),du.]

Applications du théorème fondamental: calcul d’aires.

Exercices: p. 161 Q 1 à 11,  et p. 152 Q 2

Cours 11

Intégration par parties: la relation

$$int v , du = uv – int u, dv$$

et ses multiples utilisations pour calculer des intégrales indéfinies.

Nous avons aussi vu l’idée de formule de récurrence: n’apprenez pas par coeur les formules de récurrence!

Exercices: p 211 Q 1,2,3,4,5,6,7 a), 8, 9.

Cours 12

Rappels sur certaines identités trigonométriques comportant les fonctions sinus et cosinus (formulaire de trigo distribué en classe).

Exemples pour illustrer les différentes méthodes d’intégration pour les intégrales comportant les fonctions sinus et cosinus. L’idée générale est d’utiliser les identités trigonométriques pour transformer les intégrales.

Exercices:

Cours 13

Méthodes d’intégration pour les intégrales comportant les fonctions sécantes et tangentes

Variante: intégrales de fonction comportant les fonctions cosécantes et cotangentes.

Mélange de toutes les fonctions trigonométriques: ramener à des fonctions exprimées à l’aide des fonctions sin et cos ou exprimée avec les fonctions sec et tan.

Exercices: p221 Q2, 3, 4, 5  p 250 Q 1 et 2

Cours 14

Période d’exercice

Document: Formatif 2

Pour vous pratiquer à calculer l’aire sous une courbe à l’aide de la définition d’intégrale définie, calculer (int_1^2 (x+1)^2, dx) à l’aide de la définition et de vérifier le résultat à l’aide du théorème fondamental.


Interruption due à la pandémie

L’échéancier qui suit a été modifié


Semaine du 6 avril

Cours 15

Examen 2 (10%) – cet examen a lieu via Moodle : https://moodle.cegep-st-laurent.qc.ca/course/view.php?id=2392

Cours 16

Intégration par substitutions trigonométriques

Lire la section 4.3 du manuel (à partir de la p. 221 du manuel) sauf la substitution de Weierstrass (p.232).

 

Exercices : p234, Q 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Semaine du 13 avril

Cours 17

Exercices

Cours 18

Décomposition en fractions partielles.

Exercice:

Semaine du 20 avril

Cours 19

Exercices

Cours 20

Intégrales impropres

Une intégrale est impropre si la région dont on veut déterminer l’aire n’est pas bornée (ne peut pas être encerclée par un cercle de rayon assez grand). La plupart du temps, les intégrales impropres sont associées à des asymptotes verticales ou horizontales.

Manuel: étudier la section 5.5 p290 à 296

Regarder les 7 premiers vidéos de cette série

Exercices: p302 Question 1, 2 a), b), c), d) 3 a), b), c), d), e) 4 a), b. 5. a) b) c).

Examen formatif 3

Semaine du 27 avril

Cours 21

Période d’exercice

Cours 22

Examen 3 (25%)

Semaine du 4 mai

Cours 23

Présentation des suites et séries.

Document: diaporama présenté en classe.

Un article sur l’histoire des séries:
Marc-Antoine Coppo, Une histoire des séries infinies d’Oresme à Euler, La Gazette des Mathématiciens, no. 120. 2009.
Article en ligne sur le site de l’auteur

Manuel: 314 à 318

Exercices: p 326  Q 1,2,3.

Devoir 2 (10%) à remettre à la fin de la session: énoncé sur Moodle, à faire sur le serveur sage du département (voir énoncé)

Cours 24

Somme d’une série géométrique finie:

\[\sum_{k=0}^n Ar^k = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}. \]

Série géométrique infinie: si $|r|<1$, alors

\[\sum_{k=0}^\infty Ar^k = lim_{n \to \infty} A\frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{A}{1-r}. \]

Diaporama sur les séries géométriques.

Manuel: p 337 à p 343.

Exercices: p 346 Q 4,5,6,7,8,11.

Semaine du 11 mai

Cours 25

Une série de puissance est une série « polynomiale » :

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n.\]

Diaporama sur les séries de puissances

Exercices:

Cours 26

 

Séries de Taylor.

La série de Taylor centrée en $x=a$ d’une fonction $f(x)$ est la série de puissance

\[\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n \]

\[a_n = \frac{f^{(n)}}{n!}.\]

Diaporama sur les séries de Taylor

Exercices:

Examen Formatif 4

Semaine du 18 mai

Cours 27

Période de révision

Cours 28

Examen final (25%). Date limite de remise pour le devoir 2 (10%).

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